지은이 : 네가미 세이야根上生也

옮긴이 : 고선윤

세상 모든 과학 이야기 사이엔티아_SCIENTIA 시리즈

사이엔티아는 바다출판사가 새로이 출간하는 청소년 과학 도서 시리즈입니다. “사진과 그림으로 떠나는 21세기 최첨단 과학 여행”이라는 콘셉트로 기초 순수과학에서부터 논리학, 수학을 포함하여 최첨단 응용과학까지 과학의 모든 영역을 아우를 이 시리즈는 인류가 쌓아온 모든 과학적 지식뿐 아니라 현대인의 삶에 없어서는 안 될 첨단 과학의 현주소를 충실하게 짚어낼 것입니다.
이 시리즈는 중고등학생이 주 독자층이지만, 최신 과학 분야의 성과도 다루고 있어 대학생 및 일반인들도 읽을 만한 시리즈입니다. 특히 각각의 책에 담긴 풍부한 사진과 그림 자료를 이용한 다채로운 편집은 내용 이해를 도울 뿐 아니라 독서의 재미를 배가시킬 것입니다.
* SCIENTIA는 과학을 의미하는 SCIENCE의 라틴어 원어로, “지식”, “앎”이라는 뜻을 가지고 있습니다. 이 시리즈는 과학이 만들어가는 우리 시대의 새로운 “지식”과 “앎”을 충실히 담을 것입니다.

들어가는 말

제1장 총합의 공식
공식의 비밀을 알 수 있는 문제 1 순서대로 나열한 열 개의 수를 더한다
공식의 비밀을 알 수 있는 문제 2 1에서 1000까지를 더한다
공식의 비밀을 알 수 있는 문제 3 피라미드의 부피
공식의 비밀을 알 수 있는 문제 4 제곱수 총합의 공식
공식의 비밀을 알 수 있는 문제 5 세제곱수 총합의 공식
공식의 비밀을 알 수 있는 문제 6 2의 거듭제곱의 총합

제2장 수를 세는 방법 연구
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 1 셈돌을 세는 방법 1
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 2 셈돌을 세는 방법 2
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 3 토너먼트의 시합 수
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 4 대각선의 수
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 5 대각선 교점의 수
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 6 정다면체 변의 수
수를 잘 세는 방법을 찾는 문제 7 직사각형의 수

제3장 수의 마술
놀라운 수의 문제 1 손가락셈
놀라운 수의 문제 2 곱셈 기계
놀라운 수의 문제 3 수를 알아맞히는 마술
놀라운 수의 문제 4 9로 나누었을 때의 나머지
놀라운 수의 문제 5 숫자가 정렬하는 곱셈
놀라운 수의 문제 6 7이 일렬로 늘어서다
놀라운 수의 문제 7 2의 거듭제곱 앞머리에 주목한다
놀라운 수의 문제 8 0.99999…의 수수께끼

제4장 입체도형의 수수께끼
삼차원 감각을 익히는 문제 1 정다면체 가운데 어느 것이 가장 클까?
삼차원 감각을 익히는 문제 2 정사면체 분해
삼차원 감각을 익히는 문제 3 정육면체와 정팔면체의 전개도
삼차원 감각을 익히는 문제 4 정십이면체에 숨어 있는 정육면체
삼차원 감각을 익히는 문제 5 수박 통조림?

제5장 반짝이는 증명
반짝임을 만끽하는 문제 1 보면 알 수 있는 '피타고라스의 정리' 증명
반짝임을 만끽하는 문제 2 제곱의 합의 최대치
반짝임을 만끽하는 문제 3 <최후의 만찬>의 수수께끼
반짝임을 만끽하는 문제 4 나무 열 그루를 심는다
반짝임을 만끽하는 문제 5 10으로 나누어떨어지는 짝꿍
반짝임을 만끽하는 문제 6 열 개의 수를 가지고 만든 원
반짝임을 만끽하는 문제 7 타일을 빈틈없이 깔다 1
반짝임을 만끽하는 문제 8 타일을 빈틈없이 깔다 2
반짝임을 만끽하는 문제 9 타일을 빈틈없이 깔다 3
반짝임을 만끽하는 문제 10 타일을 빈틈없이 깔다 4
반짝임을 만끽하는 문제 11 타일로 모양을 만든다
반짝임을 만끽하는 문제 12 체스 판을 한 바퀴 돈다
반짝임을 만끽하는 문제 13 미궁의 수수께끼
반짝임을 만끽하는 문제 14 직진을 금지하는 길

제6장 일상 속에 숨어 있는 수학
생활 속에서 즐기는 문제 1 우유팩의 수수께끼
생활 속에서 즐기는 문제 2 복사지의 모든 상호관계
생활 속에서 즐기는 문제 3 명함 속에 숨어 있는 황금비
생활 속에서 즐기는 문제 4 500밀리미터 캔 맥주
생활 속에서 즐기는 문제 5 정육면체 달력
생활 속에서 즐기는 문제 6 터치패널의 비밀
생활 속에서 즐기는 문제 7 네비게이션의 구조
생활 속에서 즐기는 문제 8 신용카드의 비밀번호
생활 속에서 즐기는 문제 9 포장도로의 블록
생활 속에서 즐기는 문제 10 칵테일 글레스

나는 왜 이렇게 수학을 못할까?
수학은 공식을 알아야만 풀 수 있을까?
수학과 좀 더 친해질 수 있는 방법은 없을까?
 
수학 울렁증을 날려버릴 진짜진짜 쉬운 수학책
“이제 수학을 만만하게 즐겨라!”
 
모든 학습은 재미가 중요하다. 재미는 동기부여가 될 수도 있고, 곧바로 능률로 이어질 수도 있다. 특히 수학처럼 한번 손을 놓게 되면 좀처럼 회복하기 어려운 과목일수록 그렇다. 많은 청소년들이 수학을 잘하는 아이와 못하는 아이로 쉽게 나뉜다. 잘하고 못하고는 결국 수학 시험 점수의 높고 낮음으로 갈린다. 이 책의 저자는 지긋지긋한 수학 울렁증을 극복하고 수학과 친해지려면 잠들어 있는 수학 본능 또는 수학적인 뇌를 깨워야 한다고 말한다. 그 본능을 발견하면 수학이 만만하고 즐거워진다는 것이다.
모든 아이들은 수학적인 뇌를 가지고 있다. 실제로 그들의 행동은 아주 수학적이다. 계산의 의미도 알고, 도형 처리도 가능하고, 논리적 사고도 가능하다. 그래서 이 책의 저자는 학교에서 배우는 수학의 약속이나 공식은 잠시 접어 두고 인간이 본래 가지고 있는 수학적 본능에 직접적으로 호소하는 표현으로 수학을 전개해 나가는 방법을 고민했다.
일본에서 대중적 인기몰이를 하고 있는 수학자 네가미 세이야는 2005년부터 약 1년 동안 후지 텔레비전에서 방영한 〈가차가차폰!〉에 ‘수학 탐정’이란 별명으로 출연했다. 이 프로그램은 중학생들을 위한 교육 방송으로, 그는 매회 2분 30초라는 짧은 시간 동안 코믹한 상황을 설정하고, 거기서 수학 문제를 찾아 해결해야 했다. 그는 그 짧은 시간 동안 일반적으로 학교 수학 선생님들이 하는 것처럼 칠판에 문제 풀이를 적으면서 계산하는 방식은 시청자들의 눈과 마음을 사로잡을 수 없다고 생각했다. 그래서 복잡한 계산을 하지 않고도 누구나 알 수 있는 해법을 제시하기 위해서 머리를 쥐어짰다. 눈으로 보면 바로 알 수 있는 수학, 바로 이것이 그가 생각해 낸 해답이다.
이 책은 지금까지 수학에 자신이 없었던 아이들도 맘껏 즐길 수 있는 수학을 보여 준다. 필사적으로 공식을 암기하는 것도, 복잡하고 귀찮은 계산을 하는 것도 아니다. 자신이 본래 가지고 있는 수학적 능력을 어떻게 끄집어낼 수 있는지를 함께 고민하고 그 방법을 찾아가 보는 것이다. 이 책은 바로 이런 것들로 가득 차 있다.

 
교과서 속 지루한 공식은 잊어라!
퍼즐 같은 문제를 풀면서 체험하는 마법 같은 수학 이야기!
 
이 책은 총 여섯 개의 장으로 구성되어 있다. 각 장마다 해당 장에서 이해하고 넘어가야 할 문제가 차례로 나오고, 그 문제를 풀기 위한 친절한 힌트가 제시된다.
먼저 1장에서는 어떤 규칙에 따라 나열한 수의 합계를 구하는 총합의 공식에 대해 배운다. 2장에서는 수학의 기본인 사물의 개수를 세는 다양한 방법을 배운다. 3장에서는 마치 마술과 같은 수의 신기한 현상들을 살펴본다. 4장에서는 우리가 살아가는 삼차원이라는 공간을 가득 채우고 있는 입체도형에 관해 배운다. 5장에서는 논리적 추론이자 결론을 이끌어 내는 데 중요한 증명을 배운다. 마지막으로 6장에서는 “수학 따위가 도대체 무슨 필요가 있어?”라고 생각하는 사람들의 오해를 풀 수 있는 문제들을 살펴본다. 즉 일상 속에 숨어 있는 수학을 소개하면서 실생활에서 접하는 사물 속에 의외의 수학적 발견이 있다는 것을 배운다.
수학 교과서에 나와 있기는 하지만 쉽게 이해할 수 없었던 공식과 문제들, ‘이렇게 설명해 주었다면 나도 수학을 잘할 수 있었을 텐데……’라는 생각이 들 만큼, 이 책에서 저자가 소개하는 문제와 해법은 쉽고 재미있다. 네가미 세이야가 제시하는 대로 따라가 보면, 지금까지와는 다른 수학의 풍경이 보일 것이다. 퍼즐 같은 문제를 풀면서 체험할 수 있는 반짝이는 수의 마법을 즐겨 보자.
 
 
친구에게만 알려주고 싶은 수학 시크릿 속으로
 
★순서대로 나열한 열 개의 수를 더한다_제1장 ‘총합의 공식’ 중에서, 본문 15쪽
문제 13에서 22까지 순서대로 나열한 열 개의 수를 더하면 얼마가 될까? 물론 답을 구하는 것은 간단하다. 순서대로 나열한 열 개의 수를 순식간에 더할 수 있는 비법이 있다. 다음의 예제를 보고 그 비법을 발견해 보자.
 
13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=175
16+17+18+19+20+21+22+23+24+25=205
27+28+29+30+31+32+33+34+35+36=315
45+46+47+48+49+50+51+52+53+54=495
78+79+80+81+82+83+84+85+86+87=825

힌트 무엇을 발견했는가? 아마 ‘어느 답이나 일의 자리의 수가 5’라는 것을 알았을 것이다. 그러면 덧셈의 답에서 일의 자리 수 ‘5’를 뺀 수에 주목해 보자. 그 수는 등식의 좌변 어딘가에 있다.

13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=175
16+17+18+19+20+21+22+23+24+25=205
27+28+29+30+31+32+33+34+35+36=315
45+46+47+48+49+50+51+52+53+54=495
78+79+80+81+82+83+84+85+86+87=825
 
이것을 염두에 두고, 위의 덧셈 식을 관찰하면 재미난 사실을 알 수 있다. 즉 답에서 일의 자리 수인 ‘5’를 제거하면, 그 수는 항상 좌변의 다섯 번째 수라는 사실이다. 이것은 반대로 좌변의 다섯 번째 수에 5를 추가하면 열 개의 수를 더한 것의 답이 된다는 것이다. 그 이유는 무엇일까?
다음과 같이 생각하면 간단하다. 먼저 열 개의 수를 모두 더하고 10으로 나누어 보자. 값은 열 개 수의 평균이다. 평균이란 한가운데의 값을 말한다. 열 개의 수를 순서대로 나열했을 때, 왼쪽에서 다섯 번째와 여섯 번째 사이가 한가운데라는 것은 분명하다. 이를테면 13에서 22까지 열 개의 수일 경우, 17과 18 사이. 따라서 평균값은 17.5이다. 이것의 열 배가 처음에 구하고자 했던 열 개 수의 총합이 되는 것이다.
 
 
★수를 알아맞히는 마술_제3장 수의 마술 중에서, 본문 71쪽
문제 먼저 누군가에게 마음속으로 1에서 31까지의 수 가운데 하나를 생각하라고 한다. 그다음에는 그 사람이 선택한 수가 A, B, C, D, E 중 어느 그룹에 속해 있는지 말하라고 한다. 당신은 그 수가 들어 있는 그룹의 왼쪽 위 모퉁이에 적혀 있는 수를 마음속으로 더해 간다. 더한 수가 바로 그 답이다. 당신이 그 답을 말하면, 그 사람을 깜짝 놀랄 것이다. 비밀은 무엇일까?

힌트 이것은 이진법의 법칙을 이용한 것이다. 1에서 31까지의 수는 1과 2와 4와 8과 16을 이용해서 만들 수 있다. 이를테면, 10은 2를 다섯 개 더해서 만들 수 있다.

10=2+2+2+2+2
 
2를 두 개 사용하는 것보다 4를 한 개 사용하는 것이 더 좋다. 4를 두 개 사용하는 것보다는 8을 하나 사용하는 것이 더 좋다.

10=4+4+2=8+2
 
이렇게 생각해 가면, 각각의 수를 사용해도 끝으로는 하나의 수로 나타낼 수 있다. A, B, C, D, E 그룹은 순서대로 1, 2, 4, 8, 16을 사용하는 수를 모은 것이다. 1은 A, 2는 B, 3은 1+2이므로 A와 B에, 4는 C, 5는 1+4이므로 A와 C에, 6은 2+4이므로 B와 C에 들어 있다. 이런 구조로 만든 그룹이기 때문에 마음속에서 선택한 수가 어느 그룹에 들어 있는가를 알려준다면, 그 그룹을 대표하는 수를 더하는 것만으로 마음속에서 생각한 수를 알 수 있다.